转动的矩阵表示

根据二维空间和三维空间中的转动，我们可以归纳出转动具有以下特征：

线性性质

空间中的转动作用对象是空间中的矢量，记矢量空间为$V$,以$R$表示转动,则：

$$ \begin{gather} R\left( \boldsymbol{v}+\boldsymbol{w} \right) =R\left( \boldsymbol{v} \right) +R\left( \boldsymbol{w} \right)\\ R\left( \alpha \boldsymbol{v} \right) =\alpha R\left( \boldsymbol{v} \right) \end{gather} $$

由线性性质可知转动可以用矩阵表示,将该矩阵仍记为$R$.

保矢量的长度和角度（保矢量内积）

先说明保矢量长度和夹角与保内积的等价性： 保矢量长度和夹角可表示为：

$$ \left| R\boldsymbol{\nu } \right|=\left| \boldsymbol{v} \right|,\forall \boldsymbol{v}\in V \tag{1} $$$$ \left< R\boldsymbol{\nu },R\boldsymbol{w} \right> =\left< \boldsymbol{\nu },\boldsymbol{w} \right> ,\forall \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in V \tag{2} $$

保内积可以表示为：

$$ \left( R\boldsymbol{\nu } \right) \cdot \left( R\boldsymbol{w} \right) =\boldsymbol{\nu }\cdot \boldsymbol{w},\forall \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in V \tag{3} $$

保矢量长度和夹角$\Rightarrow$保内积: $\forall \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in V$,

$$\begin{aligned} \left( R\boldsymbol{\nu } \right) \cdot \left( R\boldsymbol{w} \right) &=\left| R\boldsymbol{\nu } \right|\left| R\boldsymbol{w} \right|\cos \left< R\boldsymbol{\nu },R\boldsymbol{w} \right>\\ &=\left| \boldsymbol{\nu } \right|\left| \boldsymbol{w} \right|\cos \left< \boldsymbol{\nu },\boldsymbol{w} \right>\\ &=\boldsymbol{\nu }\cdot \boldsymbol{w}\\ \end{aligned}$$

以上第2步分别利用了式(1) 和式(2) . 保内积$\Rightarrow$保矢量长度和夹角: $\forall \boldsymbol{v}\in V$,

$$ \begin{aligned} \left| R\boldsymbol{\nu } \right|&=\sqrt{\left( R\boldsymbol{\nu } \right) \cdot \left( R\boldsymbol{\nu } \right)}\\ &=\sqrt{\boldsymbol{\nu }\cdot \boldsymbol{\nu }}\\ &=\left| \boldsymbol{v} \right|\\ \end{aligned} \tag{4} $$

以上第2步利用了式(3) . $\forall \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in V$,

$$ \begin{aligned} \cos \left< R\boldsymbol{\nu },R\boldsymbol{w} \right> &=\frac{\left( R\boldsymbol{\nu } \right) \cdot \left( R\boldsymbol{w} \right)}{\left| R\boldsymbol{\nu } \right|\left| R\boldsymbol{w} \right|}\\ &=\frac{\boldsymbol{\nu }\cdot \boldsymbol{w}}{\left| \boldsymbol{\nu } \right|\left| \boldsymbol{w} \right|}\\ &=\cos\left< \boldsymbol{\nu },\boldsymbol{w} \right>\\ \end{aligned} $$

以上第2步利用了式(3)和刚证明的式(4). 由于两矢量间的夹角$\left< \boldsymbol{\nu },\boldsymbol{w} \right> \in \left[ 0,\pi \right]$，且$\cos$函数在$\left[ 0,\pi \right]$上单调，故

$$\left< R\boldsymbol{\nu },R\boldsymbol{w} \right> =\left< \boldsymbol{\nu },\boldsymbol{w} \right> $$

保内积使用矩阵语言可以写为：

$$ \left( R\boldsymbol{\nu } \right) ^{\mathrm{T}}\left( R\boldsymbol{w} \right) =\boldsymbol{\nu }^{\mathrm{T}}R^{\mathrm{T}}R\boldsymbol{w}=\boldsymbol{\nu }^{\mathrm{T}}\boldsymbol{w},\forall \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in V \tag{5} $$

由此可得:

$$ R^{\mathrm{T}}R=I \tag{6} $$

上式可做如下理解： 取矢量空间的正交归一的基矢$\boldsymbol{e}_i$和$\boldsymbol{e}_j$,在式(5)中令$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{e}_i,\boldsymbol{w}=\boldsymbol{e}_j$:

$$ \boldsymbol{e}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}R^{\mathrm{T}}R\boldsymbol{e}_j=\boldsymbol{e}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{e}_j=\delta _{ij} $$

$\det R=1$

由于转动角$\theta$对应的矩阵$R_{\theta}$可以写成两个转动角$\frac{\theta}{2}$对应矩阵$R_{\frac{\theta}{2}}$的乘积:

$$R_{\theta}=R_{\frac{\theta}{2}}^{2}$$

故：

$$ \det R_{\theta}=\det \left( R_{\frac{\theta}{2}}^{2} \right) =\left( \det R_{\frac{\theta}{2}} \right) ^2\geqslant 0 \tag{7} $$

又由式(6)可知:

$$ \det \left( R^{\mathrm{T}}R \right) =\det R^{\mathrm{T}}\det R=\left( \det R \right) ^2=\det I=1\Rightarrow \det R=\pm 1 \tag{8} $$

以上运用了行列式的如下性质：

$$ \begin{gather} \det \left( AB \right) =\det A\det B\\ \det \left( A^{\mathrm{T}} \right) =\det A \end{gather} $$

结合式(7)和式(8)可得:

$$ \det R=1 $$

$O(n),SO(n)$

由前文可知表示转动的矩阵具有以下三个性质：

$$ \begin{cases} \text{线性性质：}R\left( \boldsymbol{v}+\boldsymbol{w} \right) =R\left( \boldsymbol{v} \right) +R\left( \boldsymbol{w} \right) ,R\left( \alpha \boldsymbol{v} \right) =\alpha R\left( \boldsymbol{v} \right)\\ \text{保内积：}R^{\mathrm{T}}R=I\\ \text{保转动方向}/\text{手性：}\det R=1 \end{cases} $$

满足前两个条件的$n\times n$实矩阵以矩阵乘法为群乘法构成正交群$O(n)$：

$$ O(n)=\left\{ \left. n\times n\text{实矩阵}R \right|R^TR=I \right\} $$

满足三个条件的$n\times n$实矩阵以矩阵乘法为群乘法构成特殊正交群$SO(n)$

$$ SO(n)=\left\{ \left. R\in O(n) \right|\det R=1 \right\} $$

$U(n),SU(n)$

考虑复矢量空间中的转动，类比实矢量空间，考虑到复矢量空间内积的定义为$\boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{w}\equiv \boldsymbol{v}^{\dagger}\boldsymbol{w}$: